Question

19．已知函数f_k（x）=2^x-（k-1）2^-x（k∈Z），x∈R，g（x）=$\frac{{{f_2}（x）}}{{{f_0}（x）}}$．
（1）若f₂（x）=2，求x的值．
（2）判断并证明函数y=g（x）的单调性；
（3）若函数y=f₀（2x）+2mf₂（x）在x∈[1，+∞）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出（2^x）²-2（2^x）-1=0，解出即可；
（2）根据函数单调性的定义证明即可；
（3）条件等价于$-2m=\frac{{{{（{2^x}-{2^{-x}}）}^2}+2}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$在x∈[1，+∞）上有零点，即$-2m=\frac{{{t^2}+2}}{t}=t+\frac{2}{t}$在$t≥\frac{3}{2}$上有零点，令$h（t）=t+\frac{2}{t}，t∈[\frac{3}{2}，+∞）$，根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：由题意得：${f_0}（x）={2^x}+{2^{-x}}，{f_2}（x）={2^x}-{2^{-x}}$
（1）由题意，${f_2}（x）={2^x}-{2^{-x}}=2$∴${2^x}-\frac{1}{2^x}=2$，
∴（2^x）²-2（2^x）-1=0
∴${2^x}=1+\sqrt{2}$，或${2^x}=1-\sqrt{2}＜0$（舍去）∴$x={log_2}（\sqrt{2}+1）$．---------（3分）
（2）$g（x）=\frac{{{2^x}-{2^{-x}}}}{{{2^x}+{2^{-x}}}}=\frac{{{4^x}-1}}{{{4^x}+1}}=\frac{{（{4^x}+1）-2}}{{{4^x}+1}}=1+\frac{-2}{{{4^x}+1}}$，
∵当x变大时，4^x+1变大，$\frac{-2}{{{4^x}+1}}$也变大，g（x）变大
∴g（x）在R上单调递增．----------------------（1分）
证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
则f（x₁）-f（x₂）=$1+\frac{-2}{{{4^{x_1}}+1}}-（1+\frac{-2}{{{4^{x_2}}+1}}）$=$\frac{2}{{{4^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{4^{x_1}}+1}}$
=$\frac{{2（{4^{x_1}}+1）-2（{4^{x_2}}+1）}}{{（{4^{x_2}}+1）（{4^{x_1}}+1）}}$=$\frac{{2（{4^{x_1}}-{4^{x_2}}）}}{{（{4^{x_2}}+1）（{4^{x_1}}+1）}}$--------------（3分）
∴x₁＜x₂
∴$0＜{4^{x_1}}＜{4^{x_2}}$-----------------（1分）
∴${4^{x_1}}-{4^{x_2}}＜0$，$（{4^{x_1}}+1）（{4^{x_2}}+1）＞0$
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函数----------------（1分）
（3）y=f₀（2x）+2mf₂（x）=2^2x+2^-2x+2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²+2+2m（2^x-2^-x）-------------（1分）
令t=2^x-2^-x，则t在R上单调递增．
∵x∈[1，+∞），∴$t≥\frac{3}{2}$
条件等价于$-2m=\frac{{{{（{2^x}-{2^{-x}}）}^2}+2}}{{{2^x}-{2^{-x}}}}$在x∈[1，+∞）上有零点，
即：$-2m=\frac{{{t^2}+2}}{t}=t+\frac{2}{t}$在$t≥\frac{3}{2}$上有零点--------------（2分）
令$h（t）=t+\frac{2}{t}，t∈[\frac{3}{2}，+∞）$任取$\frac{3}{2}≤{t_1}＜{t_2}$，
则$h（{t_1}）-h（{t_2}）={t_1}+\frac{2}{t_1}-（{t_2}+\frac{2}{t_2}）=\frac{{（{t_1}-{t_2}）（{t_1}{t_2}-2）}}{{{t_1}{t_2}}}$
∵$\frac{3}{2}≤{t_1}＜{t_2}$∴${t_1}-{t_2}＜0，{t_1}{t_2}＞\frac{9}{4}＞2$∴h（t₁）-h（t₂）＜0∴h（t₁）＜h（t₂）
∴h（t）在$[\frac{3}{2}，+∞）$上单调递增---------------------（3分）
∴当$t≥\frac{3}{2}$时，$h（t）≥\frac{17}{6}$，即$-2m≥\frac{17}{6}$
所以，$m≤-\frac{17}{12}$-------------------（1分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数单调性的定义，考查指数函数的性质，是一道中档题．