Question

14．已知抛物线C₁：y²=4x，过焦点F的直线l交C₁于A，B两点．
（1）若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程；
（2）若△AOB的面积为S（O为坐标原点），求证：$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$为定值，并求出此定值；
（3）以AB为直径的圆与y轴交于C，D两点，求|CD|的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用点差法，结合中点坐标公式，求点M的轨迹方程；
（2）若△AOB的面积为S（O为坐标原点），求出面积，及|y₁-y₂|，即可证明：$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$为定值，并求出此定值；
（3）证明⊙C′与直线l相切，利用以AB为直径的圆与y轴交于C，D两点，求|CD|的最小值．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的焦点为F（1，0），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
两式相减可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2y$•\frac{y}{x-1}$=4，
∴y²=2x-2，
∴点M的轨迹方程是y²=2x-2（抛物线C₁：y²=4x的内部）；
（2）设直线AB的斜率为k，可得直线AB的方程为y=k（x-1），
联立抛物线消去x，得y²-$\frac{4}{k}$y-4=0，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由根与系数的关系可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{\frac{16}{{k}^{2}}+16}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{k}$，
因此△AOB的面积为：S=_△AOB=S_△AOF+S_△BOF═$\frac{1}{2}$|OF|•|y₁-y₂|=2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$，
∴$\frac{{S}^{2}}{|AB|}$=$\frac{1}{2}$；
（3）设A、B到准线l距离为d₁，d₂，AB中点C′到准线l距离为d，则d=$\frac{1}{2}$（d₁+d₂），
又∵A、B在抛物线上
∴d₁=AF，d₂=BF，
∴d=$\frac{1}{2}AB$，
∴⊙C′与直线l相切，
以AB为直径的圆与y轴交于C，D两点，∴|CD|的最小值2$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度大．