Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=4a_n-3（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明数列为等比数列，只需证明数列的后一项比前一项为常数即可，先根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，求出数列{a_n}的递推关系式，再求

an

an-1

，得道常数，即可证明．
（Ⅱ）先根据（Ⅰ）求数列{a_n}的递推公式，代入b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），可得数列{b_n}的递推公式，再用迭代法，即可求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）证明：由S_n=4a_n-3，n=1时，a₁=4a₁-3，解得a₁=1．
因为S_n=4a_n-3，则S_n-1=4a_n-1-3（n≥2），
所以当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，
整理得an=

4

3

an-1．又a₁=1≠0，
所以{a_n}是首项为1，公比为

4

3

的等比数列．
（Ⅱ）解：因为an=(

4

3

)n-1，
由b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），得bn+1-bn=(

4

3

)n-1．
可得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=2+

1-( 4 3 )n-1

1- 4 3

=3(

4

3

)n-1-1，（n≥2）．
当n=1时上式也满足条件．
所以数列{b_n}的通项公式为bn=3(

4

3

)n-1-1．

点评：本题考查了利用数列前n项和与通项关系求通项公式，以及迭代法求通项公式．