Question

若F₁，F₂分别为双曲线

y2

a2

-

x2

b2

=1的下，上焦点，O为坐标原点，点P在双曲线的下支上，点M在上准线上，且满足

F2O

=

MP

，

F1M

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)，则双曲线的离心率

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,向量在几何中的应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题设条件知四边形PF₁OM为菱形，且边长为|

PF1

|=|

F1Q

|=c，所以|

PF2

|=2a+|

PF1

|=2a+c，由此利用椭圆的第二定义能求出椭圆的离心率．

解答： 解：如图，∵

F2O

=

MP

，

F1M

=λ(

F1P

| F1P |

+

F1O

| F1O |

)(λ＞0)，
∴

OF1

=

MP

，∴PF₁OM为平行四边形．且M在∠PF₁O的角平分线上，
∴四边形PF₁OM为菱形，且边长为|

PF1

|=|

F1Q

|=c，
∴|

PF2

|=2a+|

PF1

|=2a+c，
由第二定义知

| PF2 |

| PM |

=e，即

2a+c

c

=e．
∴

2+e

e

=e，且e＞1．
解得e=2．
故答案为：2．

点评：本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．