Question

已知平面直角坐标系xoy上的区域D由不等式组

x+y≥2 x＜2 y≤1

给定，若M（x，y）为D上的动点，则

9x2+y2

xy

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：

9x2+y2

xy

=

9x

y

+

y

x

，设t=

y

x

，利用t的几何意义即可得到结论．

解答： 解：∵

9x2+y2

xy

=

9x

y

+

y

x

，
∴t=

y

x

，则

9x2+y2

xy

=

9x

y

+

y

x

=t+

9

t

，
则t的几何意义为过原点的斜率，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则由图象可知OB的斜率最大，此时B（1，1），OB的斜率k=1，
则0＜t≤1，
∵函数y=t+

9

t

，在0＜t≤1上单调递减，
∴当t=1时y=t+

9

t

=1+9=10，取得最小值，
∴

9x2+y2

xy

=

9x

y

+

y

x

=t+

9

t

≥10，

9x2+y2

xy

的取值范围是[10，+∞），
故答案为：[10，+∞）

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用换元法结合直线斜率的几何意义，以及基本不等式的性质是解决本题的关键，综合性较强．