Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥平面ABCD，且PA=AD=2，E、F、H分别是线段PA、PD、AB的中点．
（1）求证：PD⊥平面AHF；
（2）求证：平面PBC∥平面EFH．

Answer 1

分析：（1）要证PD⊥平面AHF，须证PD垂直面内两条相交直线即可．
（2）要证平面PBC∥平面EFH，须证平面PBC内的两相交直线都与平面EFH平行即可．

解答：证明：（1）因为AP=AD，且F为PD的中点，所以PD⊥AF．
因为PA⊥平面ABCD，且AH?平面ABCD，所以AH⊥PA；
因为ABCD为正方形，所以AH⊥AD；    
又PA∩AD=A，所以AH⊥平面PAD．
因为PD?平面PAD，所以AH⊥PD．
又AH∩AF=A，所以PD⊥平面AHF．
（2）因为E、H分别是线段PA、AB的中点，所以EH∥PB．
又PB?平面PBC，EH?平面PBC，所以EH∥平面PBC．
因为E、F分别是线段PA、PD的中点，所以EF∥AD，
因为ABCD为正方形，所以AD∥BC，所以EF∥BC，
又BC?平面PBC，EF?平面PBC，所以EF∥平面PBC．
因为EF∩EH=E，且EF?平面EFH，EH?平面EFH，所以平面PBC∥平面EFH．

点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，是中档题．