Question

已知等比数列的前项和．设公差不为零的等差数列满足：，且成等比．
(Ⅰ) 求及；
(Ⅱ) 设数列的前项和为．求使的最小正整数的值．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）9.

试题分析：（Ⅰ）本小题可以通过可以求得数列的通项公式，然后再求得等差数列的首项和公差，然后求得；（Ⅱ）首先分析新数列的通项公式，得，可知其为等差数列，对其求和可得，然后将其代入到不等式中得到关于的不等式，考虑到，可得的最小值为9.
试题解析：(Ⅰ) 当n＝1时，a₁＝S₁＝2－a．
当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2^n－1．
所以1＝2－a，得a＝1，
所以a_n＝2^n－1．
设数列{b_n}的公差为d，由b₁＝3，(b₄＋5)²＝(b₂＋5)(b₈＋5)，得 (8＋3d)²＝(8＋d)(8＋7d)，
故d＝0 (舍去) 或  d＝8．
所以a＝1，b_n＝8n－5，n∈N*．      7分
(Ⅱ) 由a_n＝2^n－1，知a_n＝2(n－1)．
所以T_n＝n(n－1)．
由b_n＝8n－5，T_n＞b_n，得n²－9n＋5＞0，
因为n∈N*，所以n≥9．
所以，所求的n的最小值为9．    14分