Question

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
①对于任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0代入即可得答案．
（2）用定义确定函数f（x）是[0，1]上的增函数，所以当x=1时函数f（x）去最大值．
（3）先根据f（x）的单调性确定f（x）的取值范围，再用分离参数的方法将a表示出来后用基本不等式求实数a的范围．

解答：解：（1）对于条件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0．
又由条件①知f（0）≥0，∴f（0）=0．
（2）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1]，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）≥0，
即f（x₂）≥f（x₁）．
故f（x）在[0，1]上是单调递增的，
从而f（x）的最大值是f（1）=1．
（3）∵f（x）在x∈[0，1]上是增函数，
∴f（x）∈[0，1]．
又∵4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，
∴4f²（x）-8f（x）+5≥4a[1-f（x）]．
当f（x）≠1时，a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4[1-f(x)]

．
令y=

4f2(x)-8f(x)+5

4[1-f(x)]

=

4[1-f(x)]2+1

4[1-f(x)]

=1-f（x）+

1

4[1-f(x)]

≥1，
∴a≤1．
当f（x）=1时，4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a=4-4（2-a）+5-4a=4-8+4a+5-4a=1≥0恒成立，
∴a≤1．

点评：本题主要考查抽象函数的单调性以及基本不等式的有关问题．用基本不等式时注意其要等号成立时要满足的条件．