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已知定义域为[0,1]的函数f (x)同时满足:
①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)试求f(0)的值;
(2)试求函数f (x)的最大值;
(3)试证明:当x∈(
1
4
1
2
]
时,f(x)<2x.
分析:(1)令x1=x2=0,依条件③可得f(0)≤0,又由条件(1)得f(0)≥0,利用夹逼法则可求出f(0)的值;
(2)任取0≤x1<x2≤1,然后根据f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1),可得函数的单调性,从而求出函数的最大值;
(3)当x∈(
1
2
,1]
时,可得f(x)≤f(1)=1,当x∈(
1
4
1
2
]
时,则
1
2
<2x≤1,根据③可证得结论.
解答:解:(1)令x1=x2=0,依条件③可得f(0+0)≥2f(0),即f(0)≤0
又由条件(1)得f(0)≥0 故f(0)=0(4分)
(2)任取0≤x1<x2≤1可知x2-x1∈(0,1],则
f(x2)=f[(x2-x1)+x1]≥f(x2-x1)+f(x1)≥f(x1
于是当0≤x≤1时,有f(x)≤f(1)=1因此当x=1时,f(x)取最大值1.(9分)
(3)证明:当x∈(
1
2
,1]
时,f(x)≤f(1)=1
当x∈(
1
4
1
2
]
时,
1
2
<2x≤1,f(2x)≤1,f(2x)≥f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(x)≤
1
2
f(2x)≤
1
2
<2x   即f(x)<2x.(14分)
点评:本题主要考查了函数的最值,以及恒成立问题,同时考查了赋值法的应用,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2).
(1)求f(0)的值;
(2)求f(x)的最大值;
(3)若对于任意x∈[0,1],总有4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0成立,求实数a的取值范围.

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已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足以下三个条件:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0; 
②f(1)=1;
③若x1≥0,x2≥0且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且称f(x)为“友谊函数”,
请解答下列各题:
(1)若已知f(x)为“友谊函数”,求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否为“友谊函数”?并给出理由.
(3)已知f(x)为“友谊函数”,且 0≤x1<x2≤1,求证:f(x1)≤f(x2).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:
①对于任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;
②f(1)=1;
③若0≤x1≤1,0≤x2≤1,x1+x2≤1,则有f (x1+x2)≥f (x1)+f (x2).
(1)试求f(0)的值;
(2)试求函数f(x)的最大值;
(3)试证明:当x∈(
1
2n
1
2n-1
]
,n∈N+时,f(x)<2x.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知定义域为[0,1]的函数同时满足以下三个条件:①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.
(1)求f(0)的值;
(2)函数g(x)=2x-1在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明;
(3)假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1],且f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0

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