Question

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求证：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．
（2）由题设知g（1）=1；由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则2x1≥1，2x2≥1；由此能够证明函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）若f（x₀）＞x₀，则由题设知f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，由此入手能证明f（x₀）=x₀．

解答：解：（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0
（2 ） 证明：由题设知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
设x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则2x1≥1，2x2≥1；
∴g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
∴函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）证明：若f（x₀）＞x₀，则由题设知：f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，
∴由题设及③知：x₀=f（f（x₀））=f[（f（x₀）-x₀）+x₀]=f[f（x₀）-x₀]+f（x₀）≥f（x₀）
矛盾；
若f（x₀）＜x₀，则则由题设知：x₀-f（x₀）∈[0，1]，且由①知f[x₀-f（x₀）]≥0，
∴同理得：f（x₀）=f[（x₀-f（x₀））+f（x₀）]=f[x₀-f（x₀）]+f（f（x₀））≥f（f（x₀））=x₀，矛盾；
故由上述知：f（x₀）=x₀．

点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答．