Question

已知函数f（x）=（sinx+cosx）²+2cos²x．
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且f（B）=3，b=3，求a•c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和公式整理函数解析式，根据三角函数图象与性质求得函数的对称轴方程．
（Ⅱ）根据f（B）=3，求得sin(2B+

π

4

)=

2

2

，继而求得B．然后利用正弦定理整理根据A的范围确定sin（2A-

π

4

）的范围，则ac的范围可得．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=1+sin2x+1+cos2x=

2

sin(2x+

π

4

)+2，
∴2x+

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

π

8

，
∴对称轴方程为x=

kπ

2

+

π

8

（k∈Z）．
（Ⅱ）f(B)=

2

sin(2B+

π

4

)+2=3，
∴sin(2B+

π

4

)=

2

2

，
∵B∈（0，π），
∴2B+

π

4

=

3π

4

，
∴B=

π

4

，
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，得到2R=3

2

，
∴a•c=18sinA•sinC=18sinA•sin(

3π

4

-A)=18sinA(

2

2

sinA+

2

2

cosA)
=9sin(2A-

π

4

)+

9 2

2

，
∵A∈(0，

3π

4

)，
∴sin(2A-

π

4

)∈(-

2

2

，1]，
∴a•c∈(0，9+

9 2

2

]

点评：本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力