Question

数列{a_n}满足：a_n-a_n-1=4•3^n-2（n≥2），函数f（x）=3x-2，且a₁=2f（1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=f（a_n），数列{b_n}的前n项和为S_n，若

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t对任意的n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由已知f（x）=3x-2，且a₁=2f（1）直接求出a₁的值，再由递推式利用累加法求数列{a_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入f（x）=3x-2，利用分组求和求出数列{b_n}的前n项和为S_n，代入

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t把问题转化为t＞（-3ⁿ+1）_max，则答案可求．

解答： 解：（1）∵f（x）=3x-2，
∴a₁=2f（1）=2（3-2）=2．
∵an-an-1=4•3n-2(n≥2)，
∴当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=2+4•（3⁰+3¹+3²+…+3^n-2）
=2+4•

1•(1-3n-1)

1-3

=2•3^n-1．
当n=1时，a₁也满足上式，
∴a_n=2•3^n-1；
（2）bn=f(an)=3•an-2=2•3n-2．      
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=2（3¹+3²+…+3ⁿ）-2n
=3ⁿ⁺¹-2n-3． 
∴

S2n+4n

Sn+2n

=

3(32n-1)

3(3n-1)

=

(3n-1)(3n+1)

3n-1

=3ⁿ+1，
则

S2n+4n

Sn+2n

＜a_n+1+t对任意的n∈N^*恒成立可化为：
3ⁿ+1＜2•3ⁿ+t恒成立，
即t＞（-3ⁿ+1）_max．
∵n≥1且n∈N^*，
∴3ⁿ≥3，
∴-3ⁿ+1≤-2
故t＞-2．

点评：本题是数列与不等式得综合题，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，考查了数学转化思想方法，是中高档题．