【题目】已知A为焦距为的椭圆E:(a>b>0)的右顶点,点P(0,),直线PA交椭圆E于点B,.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设过点P且斜率为的直线与椭圆E交于M、N两点(M在P、N之间),若四边形MNAB的面积是△PMB面积的5倍.求直线的斜率.
【答案】(1)+=1;(2)k=±
【解析】
(1)先根据条件得B点坐标,代入椭圆方程,再与焦距联立方程组解得(2)根据面积关系得,联立直线方程与椭圆方程,利用韦达定理建立等量关系解得斜率.
(1)由题意,得焦距2c=2,∴2c=2,c=,
∵,所以点B为线段AP的中点,
因为点P(0,2),A(a,0),
∴B(,),
因为点B(,)在椭圆E上,∴+=1,
即b2=4,2=b2+c2=9,
∴椭圆E的方程为+=1.
(2)由题可得S△PAN=6S△PBM,即|PA||PN|sin∠APN=6×|PB||PM|sin∠BPM,
∴|PN|=3||,∴,设M(x1,y1),N(x2,y2),
于是=(x1,y1-2),=(x2,y2-2),
∴3(x1,y1-2)=(x2,y2-2),
∴x2=3 x1,即=3,于是+=,即=,①,
联立,消去y,整理得(9k2+4)x2+36kx+72=0,
由△=(36k)2-4×(9k2+4)×72>0,解得k2>,
∴x1+x2=-,x1x2=,
代入①可解得k2=,满足k2>,∴k=±,即直线l的斜率k=±.
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【题目】一个盒子里有大小相同的3个红球和3个黑球,从盒子里随机取球,取到每个球的可能性是相同的,设取到一个红球得1分,取到一个黑球得0分.
(Ⅰ)若从盒子里一次随机取出了3个球,求得2分的概率;
(Ⅱ)着从盒子里每次摸出一个球,看清颜色后放回,连续摸3次,求得分ξ的概率分布列及期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点是曲线上的动点,点在的延长线上,且,点的轨迹为.
(1)求直线及曲线的极坐标方程;
(2)若射线与直线交于点,与曲线交于点(与原点不重合),求的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是菱形,,为等边三角形,是线段上的一点,且平面.
(1)求证:为的中点;
(2)若为的中点,连接,,,,平面平面,,求三棱锥的体积.
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【题目】某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满意程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人根据其满意度评分值(百分制)按照[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.
(1)求图中x的值;
(2)求这组数据的中位数;
(3)现从被调查的问卷满意度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.
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【题目】今年入冬以来,我市天气反复.在下图中统计了我市上个月前15天的气温,以及相对去年同期的气温差(今年气温-去年气温,单位:摄氏度),以下判断错误的是( )
A.今年每天气温都比去年气温低B.今年的气温的平均值比去年低
C.今年8-12号气温持续上升D.今年8号气温最低
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