Question

【题目】已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，记的最小值为，证明：.

Answer 1

【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；（2）证明见解析.

【解析】

（1）对a分两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（2）由（1）知，

， 再构造函数，，求得取得最大值小于即得证.

（1）因为的定义域为，

又，

所以当时，，在单调递增．

当时，若时，，在单调递减；

若时，，在单调递增．

综上，当时，在单调递增；

当时，在　上单调递减，在单调递增．

（2）当时，由（1）知，

，

令，，则，

令，，则，

所以在单调递减，

又，，所以存在，

使得，且，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以当时，取得最大值，

因为

，

令，，

则在单调递减，

所以，所以，

因此当时，，即．