Question

14．已知（2x-3）⁴=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$，求
（Ⅰ）a₁+a₂+a₃+a₄．
（Ⅱ）${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$．
（Ⅲ）|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知二项式中分别取x=0、x=1联立求得a₁+a₂+a₃+a₄；
（Ⅱ）展开平方差公式，在已知二项式中分别取x=-1、x=1联立求${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$；
（Ⅲ）结合（Ⅰ）、（Ⅱ）求得|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|．

解答 解：（Ⅰ）在（2x-3）⁴=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$中，
取x=0，得a₀=81，取x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=1，
∴a₁+a₂+a₃+a₄ =-80；
（Ⅱ）在（2x-3）⁴=${a}_{0}{+a}_{1}x{+a}_{2}{x}^{2}{+a}_{3}{x}^{3}{+a}_{4}{x}^{4}$中，
取x=1，得a₀+a₁+a₂+a₃+a₄=1，
取x=-1，得a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=625，
∴${（a}_{0}{{+a}_{2}+a}_{4}）^2-{（a}_{1}{+a}_{3}）^{2}$ 
=（a₀+a₁+a₂+a₃+a₄）（a₀-a₁+a₂-a₃+a₄）=625；
（Ⅲ）由二项式可知，|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=-a₁+a₂-a₃+a₄，
由（Ⅰ）知，a₀=81，由（Ⅱ）知，a₀-a₁+a₂-a₃+a₄=625，
∴|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|=-a₁+a₂-a₃+a₄=625-81=544．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查了特值法的应用，是中档题．