Question

6．求下列圆的方程．
（1）圆心是（4，-1），且过点（5，2）；
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，-4）；
（3）过点P（2，-1）和直线x-y=1相切，并且圆心在直线y=-2x上．

Answer 1

分析 （1）由已知求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案；
（2）设出圆心坐标，由两点间的距离公式结合已知圆的半径求解；
（3）设圆心坐标为（a，b），半径为r，由已知条件列关于a，b，r的方程组，求解方程组得答案

解答 解：（1）∵圆心是（4，-1），且过点（5，2），
∴r²=（5-4）²+（2+1）²=10，则圆的方程为（x-4）²+（y+1）²=10；
（2）设圆心为（0，b），由圆过点（3，-4），得$\sqrt{（3-0）^{2}+（-4-b）^{2}}=5$，
得9+（b+4）²=25，解得b=0或b=-8，
∴圆心坐标为（0，0）或（0，-8），则圆的方程为：x²+y²=25或x²+（y+8）²=25；
（3）设圆心坐标为（a，b），半径为r，
则$\left\{\begin{array}{l}{b=-2a}\\{\sqrt{（a-2）^{2}+（b+1）^{2}}=r}\\{\frac{|a-b-1|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{r=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=-18}\\{r=13\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
∴所求圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=2或（x-9）²+（y+18）²=338．

点评 本题考查圆的方程的求法，根据条件利用待定系数法是解决本题的关键，是基础题．