Question

2．如图，△ABC内接于圆O，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，直线DE交圆O在B点处的切线于G，交圆于H、F两点，若GD=4，DE=2，DF=4．
（Ⅰ） 求证：$\frac{GB}{EC}$=$\frac{GD}{BD}$；
（Ⅱ）求HD的长．

Answer 1

分析 （I）由GB为圆O的切线，可得∠GBA=∠ACB．由DE为△ABC的中位线，可得∠AED=∠ACB，可得△GBD∽△AED，即可证明．
（II）由（I）可知：△GBD∽△AED，可得$\frac{DE}{BD}=\frac{AD}{GD}=\frac{BD}{GD}$，由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，即可得出．

解答 （I）证明：∵GB为圆O的切线，∴∠GBA=∠ACB，
∵DE为△ABC的中位线，∴∠AED=∠ACB，
∴∠GBA=∠AED，
∴△GBD∽△AED，
∴$\frac{GB}{AE}$=$\frac{GD}{AD}$，又AE=EC，AD=BD，
∴$\frac{GB}{EC}$=$\frac{GD}{BD}$．
（II）解：由（I）可知：△GBD∽△AED，
∴$\frac{DE}{BD}=\frac{AD}{GD}=\frac{BD}{GD}$，可得BD²=DE•GD=8，
由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，
∴HD=$\frac{B{D}^{2}}{DF}$=2．

点评 本题考查了圆的切线的性质、三角形中位线定理、相似三角形的性质、相交弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．