Question

14．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上除A、B外的一点，DC⊥平面ABC，四边形CBED为矩形，CD=1，AB=4．
（1）求证：ED⊥平面ACD；
（2）当三棱锥E-ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （1）先证明BC⊥平面ACD，再由BC∥ED，得出ED⊥平面ACD；
（2）由V_{三棱锥C-ADE}=V_{三棱锥E-ACD}，利用基本不等式求出三棱锥C-ADE体积的最大值，再利用三棱锥的体积公式计算点C到平面ADE的距离．

解答 解：（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴AC⊥BC，
又DC⊥平面ABC，BC?平面ACD，
∴DC⊥BC，
又AC∩DC=D，
AC?平面ACD，DC?平面ACD，
∴BC⊥平面ACD；
又四边形CBED为矩形，
∴BC∥ED，
∴ED⊥平面ACD；
（2）解：由（1）知，
V_{三棱锥C-ADE}=V_{三棱锥E-ACD}
=$\frac{1}{3}$S_△ACD•DE
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•AC•CD•DE
=$\frac{1}{6}$•AC•BC≤$\frac{1}{12}$•（AC²+BC²）=$\frac{1}{12}$•AB²=$\frac{1}{12}$×4²=$\frac{4}{3}$，
当且仅当AC=BC=2$\sqrt{2}$时等号成立；
∴当AC=BC=2$\sqrt{2}$时，三棱锥C-ADE的体积最大，为$\frac{4}{3}$；
此时，AD=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}}$=3，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•DE=3$\sqrt{2}$，
设点C到平面ADE的距离为h，则
V_{三棱锥C-ADE}=$\frac{1}{3}•$S_△ADE•h=$\frac{4}{3}$；
∴h=$\frac{4}{3}$÷（$\frac{1}{3}$×3$\sqrt{2}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体体积的计算问题，是综合性题目．