Question

19．在底面为正方形的四棱锥S-ABCD中，SA=SB=SC=SD，异面直线AD与SC所成的角为60°，AB=2，则四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为8π．

Answer 1

分析 作出直观图，根据所给条件寻找外接球的球心位置，计算球的半径，即可求出四棱锥S-ABCD的外接球的表面积为．

解答 解取底面中心O，BC中点E，连结SO，SE，OE，则OE=$\frac{1}{2}$AB=1，OA=OB=OC=OD=$\sqrt{2}$，SO⊥平面ABCD，
∴SO⊥OE，
∵AD∥BC，∴∠SCB为异面直线AD，SC所成的角，即∠SCB=60°，
∵SB=SC，∴△SBC是等边三角形，
∵BC=AB=2，∴SE=$\sqrt{3}$，∴SO=$\sqrt{S{E}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴OA=OB=OC=OD=OS，即O为四棱锥S-ABCD的外接球球心．
∴外接球的表面积S=4π×（$\sqrt{2}$）²=8π．
故答案为：8π．

点评 本题考查了球与内接多面体的关系，找出外接球的球心位置是解题关键．