Question

9．已知函数f（x）=e^x，其中e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设函数g（x）=（x²+ax-2a-3）f（x），a∈R．试讨论函数g（x）的单调性；
（2）设函数h（x）=f（x）-mx²-x，m∈R，若对任意${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，且x₁＞x₂都有x₂h（x₁）-x₁h（x₂）＞x₁x₂（x₂-x₁）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求函数g（x）的解析式，求导，根据a的取值，分别解关于x的不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0即可；
（2）根据已知条件将其转化成，$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$+x₂，且x₁＞x₂，构造辅助函数F（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（m-1）x-1，求导，分离变量求得m≤$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，求得函数的最小值，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）g（x）=e^x（x²+ax-2a-3），a∈R．
∴g′（x）=e^x[x²+（a+2）x-a-3]，
=e^x（x-1）（x+a+3），
当a=-4时，g′（x）=e^x（x-1）²≥0，
∴g（x）在R上单调递增，
当a＞-4时，由g′（x）＞0，解得x＜-a-3或x＞1，
∴g（x）在（-∞，-a-3），（1，+∞）上单调递增，
由g′（x）＜0，解得-a-3＜x＜1，
∴g（x）在（-a-3，1）上单调递减；
当a＜-4时，由g′（x）＞0，解得x＜1或x＞-a-3，
∴g（x）在（-∞，1），（-a-3，+∞）上单调递增，
由g′（x）＜0，解得1＜x＜-a-3，
∴g（x）在（1，-a-3）上单调递减，
综上所述：当a=-4时，g（x）在R上单调递增；
当a＞-4时，g（x）在（-∞，-a-3），（1，+∞）上单调递增，在（-a-3，1）上单调递减；
当a＜-4时，g（x）在（-∞，1），（-a-3，+∞）上单调递增，在（1，-a-3）上单调递减．
（2）h（x）=f（x）-mx²-x=e^x-mx²-x，${x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{2}，2}]$，
∴x₂h（x₁）-x₁h（x₂）＞x₁x₂（x₂-x₁），
∴$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞x₂-x₁，
不等式$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$-$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$＞x₂-x₁，等价于$\frac{h（{x}_{1}）}{{x}_{1}}$+x₁＞$\frac{h（{x}_{2}）}{{x}_{2}}$+x₂，且x₁＞x₂，
记F（x）=$\frac{h（x）}{x}+x$=$\frac{{e}^{x}}{x}$-（m-1）x-1，
∴F（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，
F′（x）=$\frac{{e}^{2}（x-1）}{{x}^{2}}$-（m-1）≥0在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
m≤$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒成立，
记P（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$+1，
∴P′（x）=$\frac{x{e}^{x}[（x-1）^{2}+1]}{{x}^{4}}$＞0，
∴P（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上单调递增，P（x）_min=P（$\frac{1}{2}$）=1-2$\sqrt{e}$．
∴实数m的取值范围为（-∞，1-2$\sqrt{e}$]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的最值问题，利用函数的性质解决不等式、方程问题及取值范围，重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用，属于难题．