Question

已知函数f（x）的定义域是（-1，1），对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数g(x)=ln

1-x

1+x

是否满足上述这些条件；
（Ⅱ）你发现这样的函数f（x）还具有其它什么样的主要性质？试就函数的奇偶性、单调性的结论写出来，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）根据函数g（x）的解析式结合对数的运算性质，分别对g（x）+g（y）与g(

x+y

1+xy

)进行化简，可得g（x）+g（y）=g(

x+y

1+xy

)成立．再由当x＜0时g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立，即可得到函数g(x)=ln

1-x

1+x

满足题意所述条件；
（II）利用赋值法先求出f（0）=0，再证出f（x）+f（-x）=f（0）=0，从而得出函数f（x）在（-1，1）上是奇函数；再根据函数对应法则证出f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，进而得到x＜y时有f（x）＞f（y），因此函数f（x）在（-1，1）上是减函数．

解答：解：（Ⅰ）由题意，得

1-x

1+x

＞0，解之得-1＜x＜1，得函数的定义域为（-1，1）；…（2分）
∵g(x)+g(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

g(

x+y

1+xy

)=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

∴g(x)+g(y)=g(

x+y

1+xy

)成立，…（4分）
又∵当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1，可得g(x)=ln

1-x

1+x

＞0成立
综上所述，可得函数g(x)=ln

1-x

1+x

满足题意所述条件．…（6分）
（II）发现函数f（x）是区间（-1，1）上的奇函数，且是减函数．
证明如下
①将x=0代入条件，得f（0）+f（y）=f（y），所以f（0）=0
再令y=-x代入条件，得f（x）+f（-x）=f（0）=0
∴f（-x）=-f（x），可得函数f（x）在（-1，1）上是奇函数．　…（9分）
②以-y代替y，代入条件得f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)，
结合函数为奇函数得f(x)-f(y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时

x-y

1-xy

＜0，结合已知条件得f(

x-y

1-xy

)＞0
∴由x＜y可得f（x）-f（y）＞0，得f（x）＞f（y），
因此，函数f（x）在（-1，1）上是减函数．…（12分）

点评：本题给出抽象函数，验证函数的特殊性质并讨论了函数的单调性与奇偶性．着重考查了对弈的运算法则、函数的单调性与奇偶性等知识，属于中档题．利用“赋值法”使抽象函数问题具体化，是解决这类问题的关键所在．