Question

4．设奇函数f（x）在区间[-7，-3]上是减函数且最小值为-6，函数g（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，其中a＜$\frac{1}{2}$．
（1）判断函数g（x）在（-2，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明即可；（2）分别求出f（x）和g（x）的最大值，求出F（x）的最大值即可．

解答 解：（1）函数g（x）在（-2，+∞）上是减函数，
证明如下：
设-2＜x₁＜x₂，
∵g（x）=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
∴g（x₂）-g（x₁）
=（a+$\frac{1-2a}{{x}_{2}+2}$ ）-（a+$\frac{1-2a}{{x}_{1}+2}$）
=（1-2a）•$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$，
∵-2＜x₁＜x₂，
∴$\frac{{{x}_{1}-x}_{2}}{{（x}_{2}+2）{（x}_{1}+2）}$＜0，
∵a＜$\frac{1}{2}$，∴g（x₂）＜g（x₁），
∴a＜$\frac{1}{2}$时，g（x）在（-2，+∞）递减；
f（x）_min=f（-3）=-6，且f（x）是奇函数，
∴f（3）=6，即f（x）在区间[3，7]上的最大值是6，
由（1）得：g（x）在[3，7]上也是减函数，
∴F（x）_max=f（3）+g（3）=6+$\frac{3a+1}{3+2}$=$\frac{3a+31}{5}$．

点评 本题考查了函数单调性的证明，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．