Question

8．已知函数$f（x）=2sin（{ωx+φ}）+1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}），f（α）=-1，f（β）=1$，若|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，且f（x）的图象关于点$（{\frac{π}{4}，1}）$对称，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

• A． $[{-\frac{π}{2}+2kπ，π+2kπ}]，k∈Z$
• B． $[{-\frac{π}{2}+3kπ，π+3kπ}]，k∈Z$
• C． $[{π+2kπ，\frac{5π}{2}+2kπ}]，k∈Z$
• D． $[{π+3kπ，\frac{5π}{2}+3kπ}]，k∈Z$

Answer 1

分析 由题意，f（α）=-1，f（β）=1，|α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，可得周期T=4|α-β|=3π，可求出ω，图象关于点$（{\frac{π}{4}，1}）$对称，带入求解φ．可得f（x）的解析式．将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间．

解答 解：由题意，函数$f（x）=2sin（{ωx+φ}）+1（{ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}}），f（α）=-1，f（β）=1$，
α-β|的最小值为$\frac{3π}{4}$，
∴周期T=4|α-β|=3π，
ω=$\frac{2π}{T}$，即ω=$\frac{2}{3}$
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$+φ）+1
又∵图象关于点$（{\frac{π}{4}，1}）$对称，
带入可得：sin（$\frac{2}{3}×\frac{π}{4}+$φ）=0，即$\frac{π}{6}+$φ=kπ，k∈Z．
∵|φ|$＜\frac{π}{2}$
∴φ=$-\frac{π}{6}$．
∴f（x）=2sin（$\frac{2}{3}x$-$\frac{π}{6}$）+1
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$$\frac{2}{3}x$-$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$．
得：$-\frac{π}{2}+3kπ≤x≤π+3kπ$，k∈Z．
故选：B．

点评 本题主要考查对三角函数的计算能力和三角函数的图象和性质的运用，求解出三角函数解析式是解决本题的关键．属于基础题．