Question

3．如图所示的空间几何体中，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{2}$，BC=2．
（Ⅰ）求二面角F-DE-C的大小；
（Ⅱ）若在平面DEF上存在点P，使得BP⊥平面DEF，试通过计算说明点P的位置．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F-DE-C的大小．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{DP}$=$λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{DF}$，推导出$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DP}$=（2-2λ-2μ，2λ-2，2λ+μ），由线面垂直的性质能求出P是线段DE上靠近E的三等分点．

解答 解：（Ⅰ）∵底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，
∴AF⊥底面ABCD，
以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AF为z轴，建立空间直角坐标系，
∵DF=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{2}$，BC=2，
∴D（2，0，0），E（0，2，2），F（0，0，1），C（2，2，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-2，2，2），$\overrightarrow{DF}$=（-2，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=-2x+2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=-2x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设平面DEC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=-2a+2b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=2b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
设二面角F-DE-C的大小为θ，由图形知θ为钝角，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{5π}{6}$，
∴二面角F-DE-C的大小为$\frac{5π}{6}$．
（Ⅱ）设$\overrightarrow{DP}$=$λ\overrightarrow{DE}+μ\overrightarrow{DF}$，
∵$\overrightarrow{DE}=（-2，2，2）$，$\overrightarrow{DF}$=（-2，0，1），
又$\overrightarrow{BD}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{DP}$=$λ\overrightarrow{DE}$+μ$\overrightarrow{DF}$=（-2λ，2λ，2λ）+（-2μ，-2μ，2λ，2λ+μ），
∴$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DP}$=（2-2λ-2μ，2λ-2，2λ+μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{DP}=0}\\{\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-2（2-λ-2μ）+2λ+μ=0}\\{-2（2-2λ-2μ）+2（2λ-2）+2（2λ+μ）=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{μ=0}\\{λ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，即$\overrightarrow{DP}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{DE}$．
∴P是线段DE上靠近E的三等分点．

点评 本题考查二面角的求法，考查满足条件的点的位置的确定，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．