Question

14．现阶段全国多地空气质量指数“爆表”．为探究车流量与PM2.5浓度是否相关，现对北方某中心城市的车流量最大的地区进行检测，现采集到12月某天7个不同时段车流量与PM2.5浓度的数据，如下表：

车流量x（万辆/小时）	1	2	3	4	5	6	7
PM2.5浓度y（微克/立方米）	30	36	38	40	42	44	50

（1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
（2）规定当PM2.5浓度平均值在（0，50]，空气质量等级为优；当PM2.5浓度平均值在（50，100]，空气质量等级为良；为使该城市空气质量为优和良，利用该回归方程，预测要将车流量控制在每小时多少万辆内（结果以万辆做单位，保留整数）．
附：回归直线方程：$\widehaty=\widehatbx+\widehata$，其中$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\widehata=\overline y=\widehatb\overline x$．

Answer 1

分析 （1）根据上表中的数据，用最小二乘法求出回归系数，即可求出y关于x的线性回归方程；
（2）利用$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$≤100，即可得出结论．

解答 解：（1）∵$\overline x=4，\overline y=40$，$\sum_{i=1}^7{{x_i}{y_i}=1200，\sum_{i=1}^7{{x_i}^2=140}}$，
∴$\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{（\overline x）}^2}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y}）}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=$\frac{20}{7}$，$\widehata=\overline y=\widehatb\overline x$=$\frac{200}{7}$，
故y关于x的线性回归方程是：y=$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$；
（2）$\frac{20}{7}x+\frac{200}{7}$≤100即x≤25，即预测要将车流量控制在每小时25万辆内..

点评 本题考查回归方程，考查利用数学知识解决实际问题的能力，正确计算是关键．