Question

2．已知函数f（x）=lnx-e^x-a+a（e是自然对数的底数 ）．
（1）当a=0是，求证：f（x）＜-2；
（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性，求得函数函数的最大值，利用基本不等式的性质，即可求得f（x）＜-2；
（2）由题意可知：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点x₁，且f（x₁）＞0，则f（x₁）=2lnx₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$+x₁，构造辅助函数，求导，根据函数单调性即可求得a=x₁+lnx₁＞1．即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）证明：当a=0时，f（x）=lnx-e^x，求导，$f′（x）=\frac{1}{x}-{e^x}$，（x＞0），
令f′（x）=0，得：$x={x_0}∈（\frac{1}{2}，1）$，即e${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$，也即lnx₀=-x₀，
且f（x）在（0，x₀）上单增，在（x₀，+∞）上单减，
∴$f{（x）_{max}}=ln{x_0}-{e^{x_0}}=-{x_0}-\frac{1}{x_0}=-（{x_0}+\frac{1}{x_0}）＜-2$．
∴f（x）＜-2；
（2）f（x）=lnx-e^x-a+a，求导，f′（x）=$\frac{1}{x}$-e^x-a，（x＞0），
故等价于f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点x₁，且f（x₁）＞0，
则f（x₁）=0，$\frac{1}{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}-a}$，则-lnx₁=x₁-a，
∴a=x₁+lnx₁
故f（x₁）=2lnx₁-$\frac{1}{{x}_{1}}$+x₁，
令$h（x）=2lnx-\frac{1}{x}+x，h（1）=0$∵$h′（x）=\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}+1＞0$，
∴h（x）＞0，则x＞1，则x₁＞1，
又∵y=x+lnx在（0，+∞）上单增，由x₁＞1，
得a=x₁+lnx₁＞1．
综上，a＞1，
∴a的取值范围（1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，函数极值的求法，考查计算能力，属于中档题．