Question

13．在平面四边形ABCD中，$AB⊥BC，AB=2，BD=\sqrt{5}，∠BCD=2∠ABD，△ABD$的面积为2．
（1）求AD的长；
（2）求△CBD的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积与余弦定理即可得出．
（2）由AB⊥BC，得$∠ABD+∠CBD=\frac{π}{2}$，根据△CBD为等腰三角形，即CB=CD，在△CBD中，由正弦定理即可得出．

解答 解：（1）由已知${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}AB•BD•sin∠ABD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{5}•sin∠ABD=2$，
所以$sin∠ABD=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，又$∠ABD∈（{0，\frac{π}{2}}）$，所以$cos∠ABD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
在△ABD中，由余弦定理得：AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cos∠ABD=5，
所以$AD=\sqrt{5}$．
（2）由AB⊥BC，得$∠ABD+∠CBD=\frac{π}{2}$，所以$sin∠CBD=cos∠ABD=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，又$∠BCD=2∠ABD，sin∠BCD=2sin∠ABD•cos∠ABD=\frac{4}{5}$，$∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π-（{\frac{π}{2}-∠ABD}）-2∠ABD=\frac{π}{2}-∠ABD=∠CBD$，
所以△CBD为等腰三角形，即CB=CD，在△CBD中，由正弦定理得：$\frac{BD}{sin∠BCD}=\frac{CD}{sin∠CBD}$，
所以$CD=\frac{BD•sin∠CBD}{sin∠BCD}=\frac{{\sqrt{5}×\frac{{\sqrt{5}}}{5}}}{{\frac{4}{5}}}=\frac{5}{4}，{S_{△CBD}}=\frac{1}{2}CB•CD•sin∠BCD=\frac{1}{2}×\frac{5}{4}×\frac{5}{4}×\frac{4}{5}=\frac{5}{8}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．