Question

12．甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标	[85，90）	[90，95）	[95，100）	[100，105）	[105，110）
机床甲	8	12	40	32	8
机床乙	7	18	40	29	6

（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；
（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；
（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90，95）内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率．

Answer 1

分析 （1）先分别求出甲机床为优品的频率和乙机床为优品的频率，由此能估计甲、乙两机床为优品的概率．
（2）求出甲机床被抽产品每1件的平均数利润为，从而估计甲机床每生产1件的利润，由此能求出甲机床某天生产50件零件的利润．
（3）由题意知，甲机床应抽取2，乙机床应抽取3，记甲机床的2个零件为A，B，乙机床的3个零件为a，b，c，由此利用列举法能示出这2件都是乙机床生产的概率．

解答 解：（1）因为甲机床为优品的频率为$\frac{32+8}{100}=\frac{2}{5}$，
乙机床为优品的频率约为$\frac{29+6}{100}=\frac{7}{20}$，
所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为$\frac{2}{5}，\frac{7}{20}$；
（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为：
$\frac{1}{100}（40×160+52×100-8×20）=114.4$元
所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元
所以甲机床某天生产50件零件的利润为50×114.4=5720元
（3）由题意知，甲机床应抽取$5×\frac{12}{30}=2$，
乙机床应抽取$5×\frac{18}{30}=3$，
记甲机床的2个零件为A，B，乙机床的3个零件为a，b，c，
若从5件中选取2件分别为AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc共10种取法
满足条件的共有3种，分别为ab，ac，bc，
所以，这2件都是乙机床生产的概率$P=\frac{3}{10}$．

点评 本题考查古典概型及应用，考查概率的计算，考查计数原理，解题时要要认真审题，注意列举法的合理运用，是基础题．