Question

20．已知f（x）是定义在R上的奇函数，满足f（x）+f（2-x）=0，且当x∈[0，1）时，f（x）=ln（e^x+$\frac{x}{x+1}$），则函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$x在区间[-6，6]上的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 利用抽象函数求出函数的对称中心以及函数的周期，利用数形结合判断函数的交点个数，得到零点个数．

解答 解：由f（x）+f（2-x）=0，令x=1，则f（1）=0，
∵f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）的图象关于点（1，0）对称，
又f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（2-x）=f（x-2），
∴f（x）是周期为2的函数．
当x∈[0，1）时，f（x）=ln（e^x+$\frac{x}{x+1}$）=ln（e^x-$\frac{1}{x+1}$+1）为增函数，
画出f（x）及y=-$\frac{1}{3}x$在[0，6]上的图象如图所示，
经计算，结合图象易知，函数f（x）的图象与直线y=-$\frac{1}{3}x$，
在[0，6]上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，

函数g（x）=f（x）+$\frac{1}{3}$x在区间[-6，6]上的零点个数是5．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点个数的判断，抽象函数的应用，考查数形结合以及计算能力．