Question

9．已知双曲线$M：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，|F₁F₂|=2c．若双曲线M的右支上存在点P，使$\frac{a}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=\frac{3c}{{sin∠P{F_2}{F_1}}}$，则双曲线M的离心率的取值范围为（　　）

• A． $（1，\frac{{2+\sqrt{7}}}{3}）$
• B． $（1，\frac{{2+\sqrt{7}}}{3}]$
• C． （1，2）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 利用正弦定理及双曲线的定义，可得a，c的不等式，结合PF₂＞c-a，即可求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：由$\frac{a}{{sin∠P{F_1}{F_2}}}=\frac{3c}{{sin∠P{F_2}{F_1}}}$，
在△PF₁F₂中，由正弦定理可得
$\frac{P{F}_{2}}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{P{F}_{1}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，
可得3c•PF₂=a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a
联立可得PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{3c-a}$＞0，即得3c-a＞0，即e=$\frac{c}{a}$＞$\frac{1}{3}$，…①
又PF₂＞c-a（由P在双曲线右支上运动且异于顶点），
∴PF₂=$\frac{2{a}^{2}}{3c-a}$＞c-a，化简可得3c²-4ac-a²＜0，
即3e²-4e-1＜0，得$\frac{2-\sqrt{7}}{3}$＜e＜$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$…②
又e＞1，③
由①②③可得，e的范围是（1，$\frac{2+\sqrt{7}}{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的离心率的取值范围，考查正弦定理及双曲线的定义，考查化简整理的圆能力，属于中档题．