Question

5．已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是$\frac{5}{6}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，女生闯过一至四关的概率依次是$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；
（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对立事件计算“男生甲闯关失败”的概率；
（Ⅱ）计算“一位女生闯关成功”的概率，得出变量X的所有可能取值，计算对应的概率值，写出X的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件A，
则“男生甲闯关成功”为事件$\overline{A}$，
∴P（A）=1-P（$\overline{A}$）
=1-$\frac{5}{6}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$
=1-$\frac{1}{3}$
=$\frac{2}{3}$；
（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件B，
则P（B）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{5}$，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4；
且P（X=0）=${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{64}{225}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${（\frac{4}{5}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{5}$•$\frac{4}{5}$•${（\frac{2}{3}）}^{2}$=$\frac{96}{225}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{3}$•$\frac{2}{3}$•${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{5}$•$\frac{4}{5}$•${（\frac{1}{3}）}^{2}$=$\frac{12}{225}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{1}{225}$，
P（X=2）=1-$\frac{64+96+12+1}{225}$=$\frac{52}{225}$；
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{64}{225}$	$\frac{96}{225}$	$\frac{52}{225}$	$\frac{12}{225}$	$\frac{1}{225}$

∴数学期望为E（X）=0×$\frac{64}{225}$+1×$\frac{96}{225}$+2×$\frac{52}{225}$+3×$\frac{12}{225}$+4×$\frac{1}{225}$=$\frac{16}{15}$．

点评 本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是基础题．