Question

13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=AB=BC=1，$∠ADC=\frac{π}{3}$，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=1，点M在线段EF上．
（1）当$\frac{FM}{EM}$为何值时，AM∥平面BDF？证明你的结论；
（2）求二面角B-EF-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）当$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$时，设AC∩BD=O，连接FO，推导出四边形AOFM是平行四边形，从而AM∥OF，由此能证明AM∥平面BDF．
（2）在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-EF-D的余弦值．

解答 解：（1）当$\frac{FM}{EM}=\frac{1}{2}$时，AM∥平面BDF．
证明如下：
在梯形ABCD中，设AC∩BD=O，连接FO，
因为AD=BC=1，∠ADC=60°，
所以DC=2，又AB=1，
因为△AOB∽△CDO，
因此CO：AO=2：1，
所以$\frac{FM}{EM}=\frac{AO}{CO}=\frac{1}{2}$，因为ACFE是矩形，
所以四边形AOFM是平行四边形，
所以AM∥OF，
又OF?平面BDF，AM?平面BDF，
所以AM∥平面BDF；
（2）在平面ABCD内过点C作GC⊥CD，
因为平面ACFE⊥平面ABCD，且交线为AC，
则CF⊥平面ABCD，即CF⊥GC，CF⊥DC，
以点C为原点，分别以CD，CG，CF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则$B（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，D（2，0，0），$E（\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，F（0，0，1），
所以$\overrightarrow{BE}=（1，0，1）$，$\overrightarrow{BF}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{DE}=（-\frac{1}{2}，-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1）$，$\overrightarrow{DF}=（-2，0，1）$，
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{BE}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{BF}=0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x+z=0\\-\frac{1}{2}x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}y+z=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow m=（1，-\sqrt{3}，-1）$，
同理可得平面DEF的法向量$\overrightarrow n=（1，-\sqrt{3}，2）$，
所以$cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}||{\overrightarrow n}|}}=\frac{2}{{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
因为二面角B-EF-D是锐角，所以其余弦值是$\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

点评 本题考查满足线面平行的线段的比值的判断与证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．