Question

4．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC．
（Ⅰ）求$\frac{b}{c}$的值；
（Ⅱ）若b+c=$\sqrt{2}$+1，a=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （I）由$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC，利用正弦定理可得$\sqrt{2}$sinC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，再利用正弦定理即可得出．
（II）由b+c=$\sqrt{2}$+1，$\frac{b}{c}$=$\sqrt{2}$．解得b，c．利用勾股定理的逆定理可得A为直角．即可得出面积．

解答 解：（I）∵$\sqrt{2}$c-ccosA=acosC，∴$\sqrt{2}$sinC=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sinB，∴$\sqrt{2}$c=b．
∴$\frac{b}{c}$=$\sqrt{2}$．
（II）由b+c=$\sqrt{2}$+1，$\frac{b}{c}$=$\sqrt{2}$．解得b=$\sqrt{2}$，c=1．
a=$\sqrt{3}$，∴b²+c²=a²．∴A=$\frac{π}{2}$
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、勾股定理的逆定理、三角函数求值、三角形面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．