Question

12．设{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₂₀₁₇=b₂₀₁₇=2017，则下列结论正确的是（　　）

• A． a₁₀₀₈＞a₁₀₀₉
• B． a₂₀₁₆＜b₂₀₁₆
• C． ?n∈N^*，1＜n＜2017，a_n＞b_n
• D． ?n∈N^*，1＜n＜2017，使得a_n=b_n

Answer 1

分析 由{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₂₀₁₇=b₂₀₁₇=2017，推导出a_n=n，b_n=（$±\root{2016}{2017}$）^n-1，由此能求出结果．

解答 解：∵{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=1，a₂₀₁₇=b₂₀₁₇=2017，
∴a₂₀₁₇=1+2016d=2017，解得d=1，
∴a₁₀₁₈=1+2017=1018，a₁₀₁₉=1+1018=1019，
∴a₁₀₁₈＜a₁₀₁₉，故A错误；
b₂₀₁₇=${b}_{1}{q}^{2016}$=2017，∴q=$±\root{2016}{2017}$，
a₂₀₁₆=1+2015=2016，
${b}_{2016}=1×（±\root{2016}{2017}）^{2015}$，
∴a₂₀₁₆＜b₂₀₁₆不一定成立，故B错误；
?n∈N^*，1＜n＜2017，a_n=n，${b}_{n}=（±\root{2016}{2017}）^{n-1}$，
∴a_n＞b_n，故C正确；
当a_n=n=b_n=（$±\root{2016}{2017}$）^n-1时，n=1或n=2017，
∴不存在n∈N^*，1＜n＜2017，使得a_n=b_n，故D不正确．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，考查等差数列、等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想，是中档题．