Question

9．已知x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3}\end{array}\right.$，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取得最小值1时，则$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{2}$
• C． 3+$\sqrt{2}$
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得2a+b=1，然后通过“1”的代换，利用基本不等式求最值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≥0}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{y≤3}\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（2，1），
化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
由图可知，当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2a+b=1．
∴$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$）（2a+b）=3+$\frac{b}{2a}+\frac{4a}{b}$$≥3+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{4a}{b}}=3+2\sqrt{2}$．
当且仅当b²=8a²，即a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$，b=2-$\sqrt{2}$时上式等号成立．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．