Question

14．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，CC₁=CA，∠BCC₁=∠BCA．
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）若BC=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，求点B到平面A₁B₁C的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据本题条件，需要证明BC₁⊥AB，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．
（Ⅱ）利用等体积方法，求点B到平面A₁B₁C的距离．

解答 （Ⅰ）证明：∵CC₁=CA，∠BCC₁=∠BCA，BC=BC，
∴△ABC≌△C₁BC，
∴∠C₁BC=∠ABC=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：若BC=2，∠BCC₁=$\frac{π}{3}$，由（Ⅰ）可知CC₁=CA=4，AB=2$\sqrt{3}$，
∴${S}_{△{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}×2×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，B₁C=$\sqrt{4+16-2×2×4×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{7}$，
∴由等体积可得$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×2\sqrt{3}h$，
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，即点B到平面A₁B₁C的距离为$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．