Question

4．已知函数f（x）=|x-3|
（1）解不等式：f（x）+f（x+1）≤2；
（2）若a＜0，求证：f（ax）-f（3a）≥af（x）．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，解不等式；
（2）由题意得f（ax）-af（x）=|ax-3|-a|x-3|=|ax-3|+|3a-ax|≥|ax-3+3a-ax|=|3a-3|=f（3a），即可证明结论．

解答 （1）解：由题意，得f（x）+f（x+1）=|x-3|+|x-2|，因此只须解不等式|x-3|+|x-2|≤2
当x≤2时，原不等式等价于-2x+5≤2，即$\frac{3}{2}≤x≤2$，
当2＜x≤3时，原不等式等价于1≤2，即2＜x≤3；
当x＞3时，原不等式等价于2x-5≤2，即$3＜x≤\frac{7}{2}$．
综上，原不等式的解集为$\left\{{x\left|{\frac{3}{2}≤x≤\frac{7}{2}}\right.}\right\}$．
（2）证明：由题意得f（ax）-af（x）=|ax-3|-a|x-3|=|ax-3|+|3a-ax|≥|ax-3+3a-ax|=|3a-3|=f（3a）
所以f（ax）-f（3a）≥af（x）成立．

点评 本题考查不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，属于中档题．