Question

5．设函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），则函数f（x）是（　　）

• A． 偶函数，且在（0，1）上是减函数
• B． 奇函数，且在（0，1）上是减函数
• C． 偶函数，且在（0，1）上是增函数
• D． 奇函数，且在（0，1）上是增函数

Answer 1

分析 根据题意，首先分析函数的奇偶性，先求出函数的定义域，进而计算可得f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数；再分析函数的单调性，先由对数的运算性质可得f（x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，令t=$\frac{1+x}{1-x}$，则y=lgt，由复合函数的单调性判断方法分析可得函数f（x）在（0，1）上为增函数，综合即可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x），
有$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解可得-1＜x＜1，
即函数f（x）的定义域为（-1，1），关于原点对称，
f（-x）=lg[1+（-x）]-lg[1-（-x）]=lg（1-x）-lg（1+x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数，
而f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）=lg$\frac{1+x}{1-x}$，
令t=$\frac{1+x}{1-x}$，则y=lgt，
当x∈（0，1）时，t=$\frac{1+x}{1-x}$=-$\frac{2}{x-1}$-1，为增函数；
而y=lgt为增函数，
故函数f（x）在（0，1）上为增函数；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，分析奇偶性时需要先分析函数的定义域．