Question

3．已知点M（-1，0）和N（-1，0），若某直线上存在点p，使得|PM|+|PN|=4，则称该直线为“椭型直线”．现有下列直线：
①x-2y+6=0
②x-y=0
③2x-y+1=0
④x+y-3=0
其中是“椭型直线”的是（　　）

• A． ①③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ③④

Answer 1

分析 由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，把直线方程分别代入椭圆方程看是否有解即可判断出结论．

解答 解：由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
对于①，把x-2y+6=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，并整理得16y²-68y+96=0，由△=68²-4×16×（96）=-1520＜0，
则x-2y+6=0不是椭型直线”；
对于②，把y=x代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，解得：x²=$\frac{12}{7}$成立，
∴x-y=0是“椭型直线”；
对于③，把2x-y+1=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，19x²+16x-8=0，由△=（16）²-4×19×（-8）＞0，
则2x-y+1=0是“椭型直线”
对于④把x+y-3=0代入$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，7x²-24x+24=0，△=（-24）²-4×7×24＜0，
则y=-x+3不是“椭型直线”；
故②③是“椭型直线”，
故选C．

点评 本题是新定义题，考查了椭圆的定义及标准方程，考查了数学转化思想方法及方程思想方法，解答此题的关键是把问题转化为判断直线方程与椭圆方程联立的方程组是否有解，属中档题．