Question

17．如图（1）所示，已知四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，且点A为线段SD的中点，AD=2DC=1，AB=SD，现将△SAB沿AB进行翻折，使得二面角S-AB-C的大小为90°，得到的图形如图（2）所示，连接SC，点E、F分别在线段SB、SC上．
（Ⅰ）证明：BD⊥AF；
（Ⅱ）若三棱锥B-AEC的体积是四棱锥S-ABCD体积的$\frac{2}{5}$，求点E到平面ABCD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出SA⊥AD，SA⊥AB，从而SA⊥平面ABCD，进而SA⊥BD，再求出AC⊥BD，由此得到BD⊥平面SAC，从而能证明BD⊥AF．
（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，由V_B-AEC=V_E-ABC，且$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{2}{5}$，能求出点E到平面ABCD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形SBCD是由直角△SAB和直角梯形ABCD拼接而成的，其中∠SAB=∠SDC=90°，
二面角S-AB-C的大小为90°，
∴SA⊥AD，
又SA⊥AB，AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD，
又BD?平面ABCD，∴SA⊥BD，
在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
AD=2CD=1，AB=2，
∴tan∠ABD=tan∠CAD=$\frac{1}{2}$，
又∠DAC+∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠BAC=90°，即AC⊥BD，
又AC∩SA=A，∴BD⊥平面SAC，
∵AF?平面SAC，∴BD⊥AF．
解：（Ⅱ）设点E到平面ABCD的距离为h，
∵V_B-AEC=V_E-ABC，且$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{{V}_{E-ABC}}{{V}_{S-ABCD}}$=$\frac{\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•h}{\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•SA}$=$\frac{\frac{1}{2}×2×1×h}{\frac{\frac{5}{2}×1}{2}×1}$=$\frac{2}{5}$，
解得h=$\frac{1}{2}$，
∴点E到平面ABCD的距离为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查等体积法的应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．