Question

10．已知圆x²+y²=10，△ABC内接于此圆，A点的坐标（1，3）．若△ABC的重心G（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），则线段BC的中点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），直线BC的方程为x-y-1=0．

Answer 1

分析 要求三角形顶点的坐标，可先将它们的坐标设出来，根据重心的性质，我们不难求出BC边上中点D的坐标，及BC所在直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可求出答案．

解答 解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵重心G的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），∴$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}+1}{3}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}+3}{3}$=$\frac{2}{3}$，
求得x₁+x₂=1，y₁+y₂=-1，故BC的中点D的坐标为：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
又∵点B、C在圆x²+y²=10上，∴x₁²+y₁²=10，x₂²+y₂²=10．
两式相减，得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，∴BC的斜率为 $\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=1．
∴边BC所在的直线方程为y+$\frac{1}{2}$=1×（x-$\frac{1}{2}$），即x-y-1=0．
故答案为：（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）； x-y-1=0．

点评 本题考查三角形重心的性质，中点坐标公式，直线的点斜式方程，属于中档题．