Question

11．用数学归纳法证明：$1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{n}^{2}}$＜2-$\frac{1}{n}$（n∈N*，n≥2）

Answer 1

分析 原题要求利用数学归纳法证明数列不等式，首先验证n=2时不等式成立，然后假设n=k时不等式成立，然后利用归纳假设证明n=k+1时不等式成立，最后下结论．

解答 证明：①当n=2时，原不等式左边=1+$\frac{1}{{2}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，右边=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，左边＜右边，不等式成立；
②假设当n=k时，原不等式成立，即1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$成立，
则当n=k+1时，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（1+k）^{2}}$＜2-$\frac{1}{k}$+$\frac{1}{（1+k）^{2}}$=2-$\frac{{k}^{2}+2k+1-k}{k（k+1）^{2}}$，
=2-$\frac{{k}^{2}+k+1}{k（k+1）^{2}}$=2-$\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}$-$\frac{1}{k（k+1）^{2}}$＜2-$\frac{k（k+1）}{k（k+1）^{2}}$=2-$\frac{1}{k+1}$，
即n=k+1时原不等式也成立．
综上，对于任意n（n∈N^*且n≥2）原不等式成立．

点评 本题考查利用数学归纳法证明数列不等式，利用归纳法证明与自然数有关的命题，关键是用上归纳假设，是中档题．