Question

3．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意的示数x，都有2f（x）+xf′（x）＜2恒成立，则使x²f（x）-f（1）＜x²-1成立的x的取值范围为x＜-1或x＞1．

Answer 1

分析 根据已知构造合适的函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质的对称性，求出x＜0的取值范围．

解答 解：当x＞0时，由2f（x）+xf′（x）-2＜0可知：两边同乘以x得：
2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，
设：g（x）=x²f（x）-x²，
则g′（x）=2xf（x）+x²f′（x）-2x＜0，恒成立：
∴g（x）在（0，+∞）单调递减，
由x²f（x）-f（1）＜x²-1
∴x²f（x）-x²＜f（1）-1
即g（x）＜g（1）
即x＞1；
当x＜0时，函数是偶函数，同理得：x＜-1
综上可知：实数x的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案为：x＜-1或x＞1．

点评 主要根据已知构造合适的函数，函数求导，并应用导数法判断函数的单调性，偶函数的性质，难度中档．