Question

16．如图所示的多面体中，底面ABCD为正方形，△GAD为等边三角形，∠GDC=90°，点E是线段GC上除两端点外的一点．
（1）若点P为线段GD的中点，证明：平面APF⊥平面GCD；
（2）若AD=2，E为CG的中点，求△BED的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明CD⊥平面GAD得出AP⊥CD，再结合AP⊥GD得出AP⊥平面GCD，故而平面APF⊥平面GCD；
（2）建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{DE}，\overrightarrow{DB}$的夹角，代入面积公式计算．

解答 （1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥AD，
又CD⊥GD，GD∩AD=D，
∴CD⊥平面GAD，∵AP?平面GAD，
∴CD⊥AP，
∵△GAD是等边三角形，P是CG的中点，
∴AP⊥GD，又GD∩CD=D，
∴AP⊥平面GCD，∵AP?平面APF，
∴平面APF⊥平面GCD．
（2）解：取AD的中点O，连结GO，
∵GAD是等边三角形，∴GO⊥AD，
又平面GAD⊥平面ABCD，平面GAD∩平面ABCD=AD，GO?平面GAD，
∴GO⊥平面ABCD，
以O为原点，以OA，OG为x轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（1，2，0），C（-1，2，0），G（0，0，$\sqrt{3}$），D（-1，0，0），
∵E是GC的中点，∴E（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{DE}$=（$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
∴cos＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{3}{2\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴sin＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}•|\overrightarrow{DB}||\overrightarrow{DE}|$•sin＜$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．