Question

1．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$．
（Ⅰ）求曲线C₁的普通方程和C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若C₁与C₂相交于A、B两点，设点F（1，0），求$\frac{1}{|FA|}+\frac{1}{|FB|}$的值．

Answer 1

分析 （I）曲线C₁的参数方程消去参数能求出曲线C₁的普通方程；由曲线C₂极坐标方程，能求出C₂的直角坐标方程．
（Ⅱ）由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，将C₁的参数方程代入C₂的直角坐标方程，得：5t²+4t-12=0，由此能求出

解答 解：（I）∵曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（为参数），
∴$\left\{\begin{array}{l}t=2x-2\\ t=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}y\end{array}\right.$，∴$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
∴曲线C₁的普通方程为$y=\sqrt{3}（x-1）$．…2分
∵曲线C₂：${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$，∴3ρ²+ρ²sin²θ=12，
∴3（x²+y²）+y²=12，∴3x²+4y²=12，
∴C₂的直角坐标方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…5分
（Ⅱ）由题意可设，与A、B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将C₁的参数方程代入C₂的直角坐标方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，
化简整理得，5t²+4t-12=0，∴$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=-\frac{4}{5}\\{t_1}•{t_2}=-\frac{12}{5}\end{array}\right.$，…7分
∴$\frac{1}{{|{FA}|}}+\frac{1}{{|{FB}|}}=\frac{{|{FA}|+|{FB}|}}{{|{FA}|•|{FB}|}}=\frac{{|{t_1}|+|{t_2}|}}{{|{t_1}|•|{t_2}|}}$，
∵${t_1}•{t_2}=-\frac{12}{5}＜0$，∴$|{t_1}|+|{t_2}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{{t_1}+{t_2}}）}^2}-4{t_1}•{t_2}}=\sqrt{{{（{-\frac{4}{5}}）}^2}-4（{-\frac{12}{5}}）}=\frac{16}{5}$，
∴$\frac{1}{{|{FA}|}}+\frac{1}{{|{FB}|}}=\frac{{\frac{16}{5}}}{{\frac{12}{5}}}=\frac{4}{3}$…10分．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，直线与椭圆的位置关系，是中档题．