Question

6．在极坐标系中，点$A（{\sqrt{3}，\frac{π}{6}}），B（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$，曲线 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|²+|MB|²取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得A，B直角坐标．曲线 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．即ρ²=2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$，即可化为直角坐标方程，通过配方利用平方关系可得参数方程．
（II）不妨设M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，可得|MA|²+|MB|²=4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$．利用sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]，即可得出．

解答 解：（I）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，则点$A（{\sqrt{3}，\frac{π}{6}}），B（{\sqrt{3}，\frac{π}{2}}）$的直角坐标分别为：A$（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，B$（0，\sqrt{3}）$．
曲线 $C：ρ=2cos（{θ-\frac{π}{3}}）\;（ρ≥0）$．即ρ²=2ρ$（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$，化为直角坐标方程：x²+y²-x-$\sqrt{3}$y=0．
配方为：$（x-\frac{1}{2}）^{2}$+$（y-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=1．
可得参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+cosθ}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ}\end{array}\right.$．
（II）不妨设M$（\frac{1}{2}+cosθ，\frac{\sqrt{3}}{2}+sinθ）$，
则|MA|²+|MB|²=（cosα-1）²+sin²θ+$（\frac{1}{2}+cosθ）^{2}$+$（sinθ-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=4-cosα-$\sqrt{3}$sinα=4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$．
∵sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[-1，1]，则4-2sin$（α+\frac{π}{6}）$∈[2，6]．
因此：|MA|²+|MB|²取值范围是[2，6]．

点评 本题考查了极坐标方程直角坐标、圆的参数方程、两点之间的距离公式、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．