Question

11．已知函数f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a≥0）
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对于任意的x₁，x₂∈[1，3]，a∈（-∞，-2）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+ln3）a-2ln3，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；
（2）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；
（3）若对任意a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．

解答 解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=0时，f（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
当0＜x＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0；
当x≥$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0
又∵f（$\frac{1}{2}$）=2ln$\frac{1}{2}$+2=2-2ln2
∴f（x）的极小值为2-2ln2，无极大值．
（2）f′（x）=$\frac{2-a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$+2a=$\frac{2{ax}^{2}+（2-a）x-1}{{x}^{2}}$，
当a＜-2时，-$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜-$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＞0 得-$\frac{1}{a}$＜x＜$\frac{1}{2}$；
当-2＜a＜0时，得-$\frac{1}{a}$＞$\frac{1}{2}$，
令f′（x）＜0 得 0＜x＜$\frac{1}{2}$或x＞-$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＞0 得$\frac{1}{2}$＜x＜-$\frac{1}{a}$；
当a=-2时，f′（x）=-$\frac{{（2x-1）}^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
综上所述，当a＜-2时f（x），的递减区间为（0，-$\frac{1}{a}$）和（$\frac{1}{2}$，+∞），递增区间为（-$\frac{1}{a}$，$\frac{1}{2}$）；
当a=-2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；
当-2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，$\frac{1}{2}$）和（-$\frac{1}{a}$，+∞），递增区间为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{a}$）．
（3）由（Ⅱ）可知，当a∈（-∞，-2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，
当x=1时，f（x）取最大值；
当x=3时，f（x）取最小值；
|f（x₁）-f（x₂）|≤f（1）-f（3）=（1+2a）-[（2-a）ln3+$\frac{1}{3}$+6a]=$\frac{2}{3}$-4a+（a-2）ln3，
∵（m+ln3）a-ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，
∴（m+ln3）a-2ln3＞$\frac{2}{3}$-4a+（a-2）ln3
整理得ma＞$\frac{2}{3}$-4a，
∵a＜0，∴m＜$\frac{2}{3a}$-4恒成立，
∵-3＜a＜-2，∴-$\frac{13}{3}$＜$\frac{2}{3a}$-4＜-$\frac{38}{9}$，
∴m≤-$\frac{13}{3}$．

点评 考查利用导数研究函数的极值、单调性和最值问题，在求函数的单调区间时，体现了分类讨论的思想方法；恒成立问题，转化为函数的最值问题，体现了转化的思想．属难题．