Question

19．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，cos（x+\frac{π}{4}））$，$\overrightarrow n=（cosx，-cos（x+\frac{π}{4}））$，且$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数$g（x）=f（x）-2{sin^2}x-m+\frac{3}{2}$在区间$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上有零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数量积运算性质、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用直线函数的单调性即可得出．
（2）g（x）有零点，即函数$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$与y=m图象有交点，求出函数$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$的值域即可得出．

解答 解：（1）由$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinxcosx-{cos^2}（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}[1+cos（2x+\frac{π}{2}）]$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$sin2x-\frac{1}{2}$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$，
得$kπ-\frac{π}{4}≤x≤kπ+\frac{π}{4}，k∈Z$，
则f（x）的递增区间为$[kπ-\frac{π}{4}，kπ+\frac{π}{4}]，k∈Z$．
（2）$g（x）=sin2x-\frac{1}{2}-（1-cos2x）-m+\frac{3}{2}=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-m$，g（x）有零点，即函数$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$与y=m图象有交点，
函数$y=\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$在区间上的值域为$[-1，\sqrt{2}]$，
由图象可得，m的取值范围为$[-1，\sqrt{2}]$．

点评 本题考查了数量积运算性质、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、函数的零点转化为函数图象的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．