Question

8．已知点F为抛物线C：x²=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为BD的中点
（Ⅰ）求证：AM与y轴平行；
（Ⅱ）求△ABD面积S的最小值．

Answer 1

分析 （I）设出A，B，D三点坐标，根据k_BD=y′|${\;}_{x={x}_{A}}$列方程．根据根与系数的关系求出M的横坐标即可；
（II）求出直线BD的方程，求出AM和B到直线AM的距离，则S_△ABD=2S_△ABM，求出S关于x_A的函数，利用基本不等式求出函数的最小值．

解答 证明：（Ⅰ）设A（x₀，$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），B（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），D（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．（x₀＞0）
由x²=4y得y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴y′=$\frac{x}{2}$，
∴k_BD=$\frac{x0}{2}$，
又k_BD=$\frac{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}-\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{x1+x2}{4}$，
∴$\frac{x0}{2}$=$\frac{x1+x2}{4}$，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x₀，即x_M=x₀．
∴AM与y轴平行．
解：（Ⅱ）F（0，1），
∴k_AF=$\frac{\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}-1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}$，k_BF=$\frac{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}-1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}}{4}-\frac{1}{{x}_{1}}$．
∵A，B，F三点共线，
∴k_AF=k_BF，
∴$\frac{{x}_{0}}{4}-\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{x}_{1}}{4}-\frac{1}{{x}_{1}}$，整理得（x₀x₁+4）（x₀-x₁）=0，
∵x₀-x₁≠0，
∴x₀x₁=-4，即x₁=-$\frac{4}{x0}$．
直线BD的方程为y=$\frac{x0}{2}$（x-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$，
∴y_M=$\frac{{x}_{0}}{2}$（x₀-x₁）+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+2=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2．
由（Ⅰ）得S_△ABD=2S_△ABM=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$|×|x₁-x₀|
=|$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{4}{{{x}_{0}}^{2}}$+2|×|x₀+$\frac{4}{x0}$|=$\frac{1}{4}$（x₀+$\frac{4}{x0}$）³≥16，
当且仅当x₀=$\frac{4}{x0}$即x₀=2时等号成立，
∴S的最小值为16．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．