Question

18．已知二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，且其图象的顶点恰好在函数y=log₂x的图象上．函数f（x）在x∈[0，2]上的值域是[-1，8]．

Answer 1

分析 由函数零点的定义设出f（x）的解析式，结合条件求出顶点坐标，代入函数解析式求出系数，即可求出f（x）的解析式，由配方法和二次函数的性质求出值域．

解答 解：∵二次函数y=f（x）的两个零点为0，1，
∴设f（x）=ax（x-1），则定点的横坐标x=$\frac{1}{2}$，
∵f（x）图象的顶点恰好在函数y=log₂x的图象上，
∴y=log₂$\frac{1}{2}$=-1，则顶点为$（\frac{1}{2}，-1）$，
代入f（x）得，$\frac{1}{2}$a（$\frac{1}{2}$-1）=-1，解得a=4，
则f（x）=4x（x-1）=4$（x-\frac{1}{4}）^{2}-1$，
∵x∈[0，2]，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，f（x）取到最小值是-1；当x=2时，f（x）取到最大值是8，
∴-1≤f（x）≤8，即f（x）的值域是[-1，8]．

点评 本题考查函数零点的定义，待定系数法求出函数解析式，以及二次函数的性质，属于基础题．